Gauss y la integral Gaussiana

La Integral de Gauss

            Función gaussiana . El área encerrada bajo esa curva con el eje x es  

En matemáticas la integral de Gauss, integral gaussiana o integral de probabilidad, es la integral impropia de la función gaussiana  sobre toda la recta de los reales. Debe su nombre al matemático y físico alemán Carl Friedrich Gauss, y su valor es: 


 


Esta integral tiene amplias aplicaciones, incluyendo normalización, en teoría de la probabilidad y transformada continua de Fourier. También aparece en la definición de la función error. A pesar de que no existe ninguna función elemental para la función error, como se puede demostrar mediante el algoritmo de Risch, la integral Gaussiana puede ser resuelta analíticamente con las herramientas del cálculo. O sea, no existe una integral indefinida elemental para  pero si es posible evaluar la integral definida 

Cálculo de la integral

La forma más común de calcular la integral de Gauss en el plano R2 es mediante la integración doble en el sistema cartesiano de coordenadas, para después hacer un cambio de coordenadas a coordenadas polares y calcular el valor. Se procede de la siguiente manera: 

* Mediante el teorema de Fubini, la integral puede ser escrita como: 

* Pero también puede ser calculada mediante el cambio de coordenadas a coordenadas polares: 

donde el factor r es consecuencia de calcular el determinante del cambio de las coordenadas cartesianas a polares, y s aparece al hacer un cambio de variable tal que s = - r2, ds = -2rdr. Así pues, obtenemos: 

por lo tanto 

La Función de Gauss

Curvas gaussianas con distintos parámetros.

En matemáticas la función gaussiana (en honor a Carl Friedrich Gauss), es una función definida por la expresión: 


 


donde a, b y c son constantes reales



La gráfica de la función es simétrica con forma de campana, conocida como campana de Gauss. El parámetro a es la altura de la campana centrada en el punto b, determinando c el ancho de la misma. 


Las funciones gaussianas se utilizan frecuentemente en estadística correspondiendo, en el caso de que a sea igual a , a la función de densidad de una variable aleatoria con distribución normal de media μ=b y varianza σ2=c2. 


Las funciones gaussianas con c2 = 2 son las autofunciones de la transformada de Fourier. Esto significa que la transformada de Fourier de una función gaussiana no es sólo otra gaussiana, sino además un múltiplo escalar de la función original.

Propiedades

Forma tridimensional.

Las gaussianas se encuentran entre las funciones elementales, aunque no poseen primitivas elementales. Sin embargo, el valor exacto de la integral impropia sobre todo el rango real puede derivarse a partir del valor de la integral de Gauss obteniéndose que: 


 


El valor de la integral es 1 si y solo si , en cuyo caso la función gaussiana es la función de densidad de una variable aleatoria con distribución normal de media μ=b y varianza σ2=c2. Se muestran varias gráficas de funciones gaussianas en la imagen adjunta.

Aplicaciones

La primitiva de una función gaussiana es la función error. 

Estas funciones aparecen en numerosos contextos de las ciencias naturales, ciencias sociales, matemáticas e ingeniería. Algunos ejemplos: 

* En estadística y teoría de probabilidades, las funciones gaussianas aparecen como la función de densidad de la distribución normal, la cual es una distribución de probabilidad límite de sumas complicadas, según el teorema del límite central. 

* Una función gaussiana es la función de onda del estado fundamental del oscilador armónico cuántico. 

* Los orbitales moleculares usados en química computacional son combinaciones lineales de funciones gaussianas llamados orbitales gaussianos. 

* Matemáticamente, la función gaussiana juega un papel importante en la definición de los polinomios de Hermite. 

* Consecuentemente, están también asociadas con el estado de vacío en la teoría cuántica de campos. 

* Los rayos gaussianos se usan en sistemas ópticos y de microondas. 

* Las funciones gaussianas se utilizan como filtro de suavizado en el procesamiento digital de imágenes. 

Fuente

WIkipedia, la enciclopedia LIBRE

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